黑龙江省哈尔滨市高考复*质量检测(数学理)

发布于:2021-08-03 13:50:13

2010 年哈尔滨市高中数学第一次联考(理科答案) 一、1-5 D A BCB 二、13. ln 2 6-10 CC A AB 14. 2 15. 11-12 C D

3

16. ①③④

三 17. 解:(Ⅰ)依题意得

2 sin( A ?

?
3

)?2
, ∴ ,

s i nA (?

?
3

? )

1
--------------------- 1 分 ----------------------2 分 ----------------------3 分 ----------------------4 分

∵0 ? A ?? , ∴ A? ∴A?

?
3

? A?

?
3

?

?
3

?

?
2

4? , 3

?

6

(Ⅱ)方案一:选择①②

?

a b ? sin A sin B
----------------------6 分

?b ? 2 2

A ? B ? C ? ? ,? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2? 6 4

----------------------8 分

?S ?

1 1 2? 6 ab sin C ? ? 2 ? 2 2 ? ? 3 ?1 2 2 4 .

----------------------10 分

方案二:选择①③
2 2 2 由余弦定理 b ? c ? 2bc cos A ? a ,

----------------------6 分

2 2 2 有 b ? 3b ? 3b ? 4 ,则 b ? 2 , c ? 2 3 ,

----------------------8



1 1 1 S ? bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 2 2 2
说明:若选择②③,由 c ? 3b 得, sin C ? 3 sin B ?

----------------------10 分

6 ? 1 不成立,这样的三角形不存在 2

18.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时

an ?

1 1 1 1 (1 ? an ) ? (1 ? an ?1 ) ? ? an ? an ?1 2a ? ?an ? an?1 --------------------- 1 分 2 2 2 2 , n

由题意可知 an ?1 ? 0,

an 1 ? an ?1 3
所以{ an }是公比为

---------------------2 分

1 的等比数列 3

--------------------- 3 分

S1 ? a1 ?

1 1 (1 ? a1 ) a1 ? 2 3 ,

--------------------- 4 分

1 1 1 an ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n 3 3 3
(Ⅱ)证明: bn ? n( )

--------------------- 5 分
n

1 3

--------------------- 6 分
2

设 Tn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ... ? n ? ( )
1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

n

--------------------- 8 分

1 1 1 1 1 ? Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? 3 ? ( ) 4 ? ... ? n ? ( ) n ?1 3 3 3 3 3 ? Tn ? 3 3 1 n 3 1 n ?1 3 ? ( ) ? n( ) ? 4 4 3 2 3 4

--------------------- 10 分

--------------------- 12 分

19(1)解: 0.06 ? 13.5 ? 0.16 ? 14.5 ? 0.38 ? 15.5 ? 0.32 ? 16.5 ? 0.08 ? 17.5 ? 15.7 --------------------- 2 分

所以估计该班百米测试成绩的*均数为 15.7 秒。

--------------------- 3 分

(2)由直方图知,成绩在 [14,16) 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人.
--------------------- 4 分 --------------------- 5 分

? 的取值为 0,1,2
P(? ? 0) ?
2 C23 2 C50 1 1 C23 C27 2 C50

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

2 C27 2 C50

? 的分布列为

?
P

0

1

2

506 2450

1242 2450

702 2450
--------------------- 7 分

所以 ? 的数学期望为 E? ? 1 ?

1242 702 27 ? 2? ? 2450 2450 25

--------------------- 8 分

(3)由直方图知,成绩在 [13,14) 的人数为 50? 0.06 ? 3 人,分别设为 x 、

y 、z

成绩在 [17,18) 的人数为 50? 0.08 ? 4 人,分别设为 A 、 B 、 C 、 D .

xy , xz , yz 3 种情况; ? 若 m , n ? 13,14) 时,有

(C32 )

若 m , n ? ?17,18? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况;(C 2 4 ) 若

m , n 分别在 ?13,14? 和 ?17,18? 内时,
A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD
--------------------- 10 分 --------------------- 11 分

1 1 共有 12 种情况. (C3 C4 )

所以基本事件总数为 21 种, 事件“ | m ? n |? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P (| m ? n |? 1) =

12 4 ? 21 7

--------------------- 12 分

20.方法一 (1) AC ? BC , AC ? CC1 且 BC ? CC1 又 BC1

? C ,∴ AC ? *面 C1CBB1 ,

? *面 C1CBB1 , BC1 ,
--------------------- 2 分

∴ AC ?

B1C ? BC1 且 AC ? B1C ? C

? BC1 ? *面 AB 1C ,
又 AB 1

-----------------------3 分

? *面 AB1C
--------------------- 4 分

? AB1 ? BC1
(2)取 A1B1 的中点为 H ,在*面 A 1 ABB 1 内过 H 作 HQ ? 则 C1H

AB1 于 Q ,连接 C1Q
--------------------- 5 分

? *面 A1 ABB 1 ,所以 C1H ? AB 1 , ? HQ ? H ? *面 C1HQ ,所以 AB1 ? C1Q

而且 C1H 所以 AB 1

所以 ?C1QH 是二面角 C1 ? AB 1? A 1 的*面角 , 又 C1H

--------------------- 7 分 -----------------------8 分

? 2
6 , 3

在 ?A1 AB 内,解得 HQ ?

----------------------9 分

所以

tan?C1QH ?

C1H ? 3 HQ
0

-----------------------10 分

所以二面角 C1 ? AB 1? A 1 的*面角为 60

--- -------------------12 分

方法 2: 建立空间直角坐标系(以 C 为原点, CA 为 x 轴正半轴, CB 为 y 轴正半轴,

CC1 为 z 轴正半轴)
则 A(2,0,0), B(0,2,0), B1 (0,2,2),C1 (0,0,2), A 1 (2,0,2) --------------------- 1 分(1) --------------------- 2 分 --------------------- 3 分

AB1 ? (?2,2,2),

BC1 ? (0,?2,2)

? AB1 ? BC1 ? ?2 ? 0 ? 2 ? (?2) ? 2 ? 2 ? 0
? AB1 ? BC1
--------------------- 4 分

(2)取 A1B1 的中点为 H ,则 H (1,1,2) 。*面 AB ,1,0) 1A 1 的法向量 C1H ? (1

--------------------- 5 分 设*面 C1 AB 1 的法向量 n ? ( x, y, z)

C1 A ? (2,0,?2),C1B1 ? (0,2,0)
?2 x ? 2 z ? 0 ?? ?2 y ? 0
? y ? 0, x ? z
令z ?1

--------------------- 6 分

-------------------- 7 分

? 得*面 C1 AB1 的一个法向量 n ? (1,0,1)
? cos? ? | 1? 1 ? 0 ? 1 ? 1? 0 | 1 ? 2 2? 2

---------------------9 分

--------------------- 10 分

又所求二面角 C1 ? AB 1? A 1 的*面角为锐角, 所以二面角 C1 ? AB 1? A 1 的*面角为 60 21.解: (1)由题意可知:
0

--------------------- 11 分 --------------------- 12 分

|b| 1? k
2

? 1,? b ? 1 ? k 2

--------------------- 1 分

又 ?

? y ? kx ? b
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

得 (1 ? 2k

2

) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0
2 2|k| 1 ? 2k 2 |b| 1? k2 ?1

--------------------- 2 分

?| AB |? 1 ? k 2

---------------------3 分

而 O 到直线 AB 的距离为

--------------------- 4 分

则有

1 2 2|k| |b| 2 ? 1? k2 ? ? 2 2 2 1 ? 2k 3 1? k
--------------------- 5 分

得 k ? ?1 所求直线 l 的方程为 x ? y ?

2 ?0或x? y? 2 ?0

--------------------- 6 分

(2)由题意可知

6 1 2 2|k| |b| 2 ? ? 1? k2 ? ? 6 2 4 2 1 ? 2k 1? k2 7

--------------------- 7 分



1 ? k2 ? 3 2

--------------------- 9 分

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

?OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
--------------------- 10 分 根据韦达定理得: x1 ?

x2 ? ?

4kb 2b 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
--------------------- 11 分

代入上式得: OA ? OB ?

3b 2 ? 2k 2 ? 2 1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

4 3 ? ? OA ? OB ? 7 4
22. 解: (1)

--------------------- 12 分

f (x) ? x3 -3x 2 ,?f ?(x) ? 3x 2 - 6x
k ? ?3
又 f (1) ? ?2 ----------------------1 分 ----------------------2 分 ----------------------3 分

? 所求切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0
2 3 2 (2)当 a ? 0 时, x ( x ? b) ? x ln x ? x ? 0

即 b ? x ? x ln x ? 1 , 令 g ( x) ? x ? x ln x ? 1

----------------------4 分

g , ( x) ? ln x ? 2
由g
,

----------------------5 分

( x) ? 0 得 x ? e ?2 (0, e?2 )
_
递减

x
y,
y

e ?2
0 取极小值

(e?2 ,??)

?
递增

e2 ? 1 由上表知 g ( x) 的最小值为 g (e ) ? e2
?2

----------------------6 分

所以有 b ?

e2 ? 1 e2

----------------------7 分

(3)假设 OA ⊥ OB , 即 OA ? OB ? st ? f (s) f (t ) ? 0
2

----------------------8 分
2

故 ( s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1, [st ? (s ? t )a ? a ][st ? (s ? t )b ? b ] ? ?1
----------------------9 分

由 s , t 为 f , ( x) ? 3x2 ? 2(a ? b) x ? ab ? 0 的两根可得,

s?t ?

2 ab (a ? b),st ? , (0 ? a ? b) 3 3
2

从而有 ab(a ? b) ? 9

----------------------10 分

(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ?
即 a?b? 2 3, 这与 a ? b ? 2 3 矛盾.

9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 ab
----------------------11 分

故直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

----------------------12 分


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