2011年东莞市清溪`镇初中数学竞赛答题卷(初三)

发布于:2021-09-28 07:12:34

y y B
Q

B

2011 年东莞市清溪镇数学竞赛答题卷(初三组)
题号

O P ? 2, O Q ? 1, O Q ?

1 2

OP
?

O

A

P

x
O

A

P

x

一 1-8

二 9-16 17 18

三 19
B

总分 20 21

? P Q 相 切 圆 O 于 Q 点 , O Q ? P Q ,? ? Q P O = 3 0 ? ? ? PO Q ? 60
?

图一
图二 (备 用 图 )

得分

(2)当 Q 点运动1秒后, ? B O Q ? 30 ,所以,当 Q 点再运动5秒后,Q 点运动了 1 5 0
?

?

,即运动到圆 O 与 Y 轴

一、 选择题(本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 答 1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D

相交的另一个交点,不妨设为 E 点,连结 PE,交圆 O 于 D,作 O M ? E D , 在 Rt ? P O E 中, E P 2 ? O P 2 ? O E 2 ? 2 2 ? 12 ? 5 ,? E P ? 5 而 S ? POE ?
1 2 OP ?OE ? 1 2 E P ? O M ,? 1 2 ? 2 ?1 ? 1 2 ?
2



5 ? O M ,? O M ?

2 5 5

二、填空题(本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 姓名: 内

在 Rt ? O M E 中, E M 2 ? O E 2 ? O M 2 ? 1 ? (

2 5 5

) ?

1 5

,? E M ?

5 5

? ED ?

2 5 5

9、 x ? ? 且 x ?
2

1

1 2

10、_________1/4_____________ 11、

3 2 2

20. (本小题满分 10 分) 解: (1) P ? [520 ? ( x ? 1) ? 20]?x ? (540 ? 20 x ) x 依题意: 480 x ? (540 ? 20 x ) x ? 11560
x ? 51 x ? 578 ? 0
2

线

12、_________121_____________ 13、_________185_____________ 14、_________7_____________ 封

x1 ? 34, x 2 ? 17

15、__________15____________ 16、___________1/2___________ 班别: 密 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 5 分) 解:格点的坐标是以下四种情况: (奇数,奇数)(奇数,偶数)(偶数,偶数) , , , (偶数,奇数)由于五个点都落在格点上,肯定有二个格点的坐标情况相同,根据整数的奇偶性质,则他们 连线的中点坐标也一定是以上四种情况之一。故至少有二个点的中点的连线也在格点上。 18.(本小题满分 6 分) 解: 在 当 x1 ? 34 时,P=-2800,不合题意,舍去。 答 x ? 17 (辆) 21. (本小题满分 9 分) 解: (1) A ? (1 ? ) ? (1 ?
2 1 1 2 )....(1 ? ? 1 m n ?1 2n ? 1 26 )(1 ? 1 m )? 1 2 ? 3 2 ? 4 3 ? ... ? m ?1 m ?1 1 1 ? ? ,同理, B ? m m 2m 2n



(2)? A ? B ?

1 26

,?

m ?1 2m

, ?

n?m nm

?

1 13



因为 m , n 均为正整数,所以 n ? m ,而 n ? m 与 nm 互质,13 又是质数,所以, n , m 中至少有一个是 13 的倍 学校: 数,不妨设 n ? 1 3 k ( k ? N ? ) 有:
13k ? m 1 3 km ? 1 13
13k k ?1 k k ?1

, 13k ? m ? km , m ?

? 13 ?

由于 k 与 k ? 1 互质, m ? N ? ,所以有 k ? 1 整除 13,得到: k ? 12 ,所以, n ? 13 ? 12 ? 156, m ? 12 。 当 m ? 13 k 时, n ? 19.(本小题满分 10 分) 解: 依题意:(1)
13k 1? k ? 0 (k ? N ) ,矛盾。故 n ? 156, m ? 12
?

1

D

C

附加题参考答: (1)? A B C D 是正方形,? A D ? B C 又? ? E A B ? ? E B A ? 15 ? ,? ? D A E ? ? C B E ? 75 ? , A E ? B E ?? D A E ? ? C B E ,? D E ? E C (2)解法一: 以 AB 为边作正三角形 ABM,连结 ME,得到
? E B M ? ? E A M ? 60 ? 15 ? 75 ,ME=ME,?? M A E ? ? M B E ( s , a , s )
? ? ?

E

A

B

? ?M EB ? ?M EA ?

1 2

?AEB ?

1 2

?150 ? 75

?

?

? EM ? BM ? AB

在 ? B E C 和 ? B E M 中, BE ? BE , ? C B E ? 90 ? ? 15 ? ? 75 ? ? ? E B M M M B ? B C , BE ? BE ,? ? B E C ? ? B E M ,? M E ? C E ,? D E ? E C , M E ? A B ? D E ? E C ? D C ?? D C E 是正 三角形。 (2)解法二: (反正法) 不妨设 ? E D C ? 60 ? ,则 ? E D A ? 3 0 ? , 得到 E C ? D C , E C ? E D ? D C ? A D , E D ? A D , ? D E A ? ? D E A ? 75 ? ? ? ? ? 。 ?? AD E 内角和 ? ? E D A ? ? D E A ? ? D A E ? 30 ? 75 ? 75 ? 180 (矛盾) ? ? 同理:当 ? E D C ? 60 时,?? AD E 内角和 ? 180 (矛盾) 。 ? 所以, ? E D C ? 60 ,所以: ? E D C ? ? D C E ? ? D E C ? 60 ? ?? D C E 是正三角形。 (2)解法三: (同一法)在正方形 ABCD 内找一点 E ? ,使 ? D C E ? 是正三角形, 连结 E ?A 、 E ?B ,显然 D E ? ? A D ,? ? A D E ?? ? 30 ? ? ? D A E ? ? 7 5 ? , ? ? ? ? E ?A D ? 15 ,而? ? E A D ? 15 ,所以, E ? 在 A E 线上。同理, E ? 在 B E 线上, 所以 E ? 与 E 重合,即 E 点俱有 E ? 点的全部性质,因为 ? D C E ? 是正三个形, 所以 ? D C E 是正三角形。
D C

E?

E

A

B

2


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