人教A版高中数学必修五课时提能训练:1.2.1.1解三角形的实际应用举例——距离问题()

发布于:2021-09-28 06:36:17

高中数学学*材料
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比例,答案解析附后。
课后巩固作业(三)

(30 分钟 50 分)

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)

1.某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察

站 C 北偏东 30°,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A、B 间的距离为( )

(A)500 米

(B)600 米

(C)700 米

(D)800 米

2.某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150°,然后沿新方向走了 3 km,结果

离出发点恰好为 3 km,那么 x 的值为( )

(A) 3

(B)2 3

(C)2 3 或 3

(D)3

3.某工程中要将一长为 100 m 倾斜角为 75°的斜坡,改造成倾斜角为 30°的斜

坡,并保持坡高不变,则坡底需加长( )

(A)100 2 m (C)50( 2 ? 6 )m

(B)100 3 m (D)200 m

4.如图,为了测量某*锪讲 A、B 间的距离(此

*镒璧擦 A、B 之间的视线),给定下列四组数

据,测量时应当用数据( )

?A? ?,a,b ? B? ?,?,a ?C? a,b,? ? D ? ?,?,b

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)

5.若 E、F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上

的三等分点,则 tan∠ECF=______.

6.海上有 A、B 两个小岛相距 10 nmile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,

从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,那么 B 岛和 C 岛的距离是______.

三、解答题(每小题 8 分,共 16 分)

7.如图,为了测量河对岸 A、B 两点间的距离,在河的这边测

得 CD= 3 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,
2
求 A、B 两点间的距离. 8.如图,要计算西湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上

选取 A 和 D 两点,现测得 AD⊥CD,AD=10 km,AB=14 km,∠BDA=60°,∠BCD= 135°,求两景点 B 与 C 的距离.(精确到 0.1 km).参考数据:
2 ? 1.414, 3 ? 1.732, 5 ? 2.236.
【挑战能力】 (10 分)在一个很大的湖边(可视湖岸为直线)停放着一只小船, 由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与河岸成 15°角,速 度 2.5 km/h,同时岸上一人从同一地点开始追小船,已知他在岸 上跑的速度为 4 km/h,水中游的速度为 2 km/h,问此人能否追上 小船?若小船速度改变,则小船能被追上的最大速度是多少?
答案解析
1.【解析】选 C.在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=5002+3002-2×500× 300cos120°=490 000. ∴AB=700(米). 2.【解析】选 C.如图,若设出发点为 A,AB=x,则有 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos30°,

即( 3 )2=x2+32-2x·3cos30°, 解得:x=2 3 或 3 . 3.【解析】选 A.设坡底需加长 x m, 由正弦定理得 100 ? x ,
sin30? sin45?
解得 x=100 2 m. 4.【解析】选 C.由余弦定理 AB2=a2+b2- 2abcos? 知, 需要测量数据 a,b,?. 【方法技巧】测量不可到达的两点的距离问题需注意: (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为求三角 形的边长问题,然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测 量问题. (2)测量长度、距离是解三角形的应用题的一种基本题型,在解这类问题时,首 先要分析题意,确定已知与所求,然后画好示意图,通过解三角形确定实际问 题的解. 5.【解析】过 C 作 CD⊥AB 于点 D,则 D 为 AB、EF 中点.

设 ED=DF=1,则 CD=AD=BD=3,tan∠ECD= 1 ,
3

tan∠ECF=tan2∠ECD=

2? 1 3
1? 1

?

3 4

.

9

答案: 3
4

6.【解析】画出示意图如图,

由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°, ∴C=45°, 由正弦定理得 10 ? BC ,
sin45? sin60?
∴BC=5 6 . 答案:5 6 nmile 7.【解题提示】分别在△BCD 和△ABC 中利用正、余弦定理求解即可. 【解析】∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°. 又∵∠ACD=60°,∴∠DAC=60°,

AC=DC= 3 ,
2
在△BCD 中,∠DBC=45°,∴ BC ? DC ,
sin30? sin45?
∴BC= 6 .
4
在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos45°

= 3 ? 3 ?2? 3 ? 6 ? 2 ? 3 ,

48

2 4 28

∴AB= 6 ,∴A、B 两点间的距离为 6 km.

4

4

8.【解题提示】这是不可到达的两点间的距离问题,构造出三角形,分析已知

量和未知量,利用正、余弦定理求解.

【解析】在△ABD 中,设 BD=x km, 则 BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA, 即 142=x2+102-2·10x·cos60°, 整理得:x2-10x-96=0, 解得:x1=16,x2=-6(舍去), 故 BD=16 km,又∵∠BDA=60°,AD⊥CD, ∴∠CDB=30°. 由正弦定理,得:
BC ? BD ,
sin?CDB sin?BCD
∴BC= 16 ·sin30°=8 2 ≈11.3(km).
sin135?
∴两景点 B 与 C 的距离约为 11.3 km. 【挑战能力】 【解析】设船的速度为 v km/h,追上所用时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt(0<k<1),在△ABC 中,AC=vt,AB=4kt,BC=2(1-k)t, 由余弦定理得: BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos15°, 整理得 12k2-[2( 6 ? 2 )v-8]k+v2-4=0, 由Δ≥0,得 v≤2 2 或 v≥2( 6 ? 2 ), 依题意,0<v<4,∴0<v≤2 2 . 因为 0<2.5<2 2 ,故此人能追上小船,若小船速度改变,则小船能被追上的 最大速度是 2 2 km/h.


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