人教A版高中数学选修2-3课件1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

发布于:2021-08-03 15:51:19

高中数学课件
(鼎尚图文*****整理制作)

1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理

思考
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号,总共能够编出多少 种不同的号码?
26+10=36

问题 1. 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以
乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火车有4 班, 汽 车有2班,轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 法。

种方

问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征? 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算

你能总结出这类问题的一般解决规律吗?
完成一件事有两类不同的方案, 在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法, 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。

例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:

A大学

B大学

生物学

数学

化学

会计学

医学

信息技术学

物理学

法学

工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?

变式:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:

A大学

B大学

C大学

生物学

数学

机械制造

化学

会计学

建筑学

医学

信息技术学 广告学

物理学

法学

汉语言文学

工程学

韩语

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

探究1
如果完成一件事情有3类不同方案,在第1类方 案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2 种不同的方法,在第3类方案中有m3种不同的 方法,那么完成这件事情有
N=m1+m2+m3 种不同的方法

如果完成一件事情有n类不同方案,在每一类 中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?
完成一件事有 n 类不同的方案, 在第1类方案中有 m1 种不同的方法, 在第2类方案中有 m2 种不同的方法, …… 在第n类方案中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有
N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。

引例1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少 种不同的号码?
变换:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯
数字,以A1,A2,···,B1,B2,···的方式给教室里 的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?
分析:完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成:第1步:先确定一个英文字母 第2步,后确定一个阿拉伯数字

字母 FBCDEA
树形图

数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9

得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999

变换:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉
伯数字,以A1,A2,···,B1,B2,···的方式给教 室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?
分析:完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤, 第1步,确定一个英文字母,有6种不同方法; 第2步,确定一个阿拉伯数字,有9种不同方法;
所以,编号共有6×9=54种方法.

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法?

例3、长征的部分电话号码是0943665××××,后面每

个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的电

话号码?

分析:

0943665

10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

完成一件事需要n个步骤,
做第1步有m1 种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法, ……
做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有
N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法。

两个计数原理

分类加法计数原理 分步乘法计数原理

相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘

不同点 每类方案中的每一 种方法都能_独__立___
完成这件事

每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立完成

这件事)

注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整

例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书,第2层放 着3本不同的文艺书,第3层放着2本不同的体育书。 (1)从书架上任取1本书,有几种不同的取法?
解:从书架上任取1本书, 有三类方法:
第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法; 第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法; 第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法。 根据分类加法计数原理,不同取法的种数是: N=4+3+2=9.

例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书,第2层放 着3本不同的文艺书,第3层放着2本不同的体育书。 (1)从书架上任取1本书,有几种不同的取法? (2)从书架上的第1、2、3层各取1本书,有几种不同 的取法? 解:从书架的第1,2,3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成:
第1步:从第1层取1本计算机书,有4种方法;
第2步:从第2层取1本文艺书,有3种方法; 第3步:从第3层取1本体育书,有2种方法。 根据分步计数原理,不同取法的种数是: N=4×3×2=24.

练*.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从 乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有 4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。 从甲地到丙地共有多少种不同的走法?

解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。

甲地 丁地

乙地 丙地

解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成:

第一步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3

种选甲法;





第二步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,

有2种选法。

根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.
思考:还有其他解答本题的方法吗?

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?
解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选出2幅,有3种选法;
(“甲甲、乙”,“甲乙、丙”,“乙、丙丙”)
第二步,将选出的2幅画挂好,有2中挂法
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

变式 要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中 选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?

解:从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成:

第一步,从5幅画中选1幅挂在左边墙上,有5

种选法甲;





第二步,从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上,

有4种选法。

根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=5×4=20.





例5. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人限 报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺 这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少 种?
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 .
(2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×5×5×5= 54 种 .

例6.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1~9 ,问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。
解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法
答:最多可以给1053个程序命名。

例7.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称
为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用A,C,G,U表 示,在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成,那么能有多少种不同的RNA分子?

分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从A、

C、G、U中任选一个来占据。

第1位 第2位 第3位

第100位

……

4种

4种

4种

4种

解:100个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U

中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理,共有

4???4???4 ??????4=4100 种不同的RNA分子.
100个4

例8.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字,一个 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用 多少个字节表示?

如00000000,10000000, 11111111.

第1位

第2位

第3位

第8位
……

2种

2种

2种

2种

例9.计算机编程人员在编

开始

写好程序以后要对程序进

行测试。程序员需要知道

到底有多少条执行路(即 子模块1 程序从开始到结束的线),18条执行路径 以便知道需要提供多少个

子模块2 45条执行路径

子模块3 28条执行路径

测试数据。一般的,一个

A

程序模块又许多子模块组

成,它的一个具有许多执

行路径的程序模块。问: 这个程序模块有多少条执

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

行路径?另外为了减少测

试时间,程序员需要设法

减少测试次数,你能帮助

程序员设计一个测试方式,

结束

以减少测试次数吗?

分析:整个模块的任

开始

意一条路径都分两步

完成:第1步是从开

始执行到A点;第2步 是从A点执行到结束。

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径

子模块3 28条执行路径

而第步可由子模块1

A

或子模块2或子模块3

来完成;第二步可由

子模块4或子模块5来 完成。因此,分析一

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

条指令在整个模块的

执行路径需要用到两

个计数原理。

结束

2)在实际测试中,程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱,即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样,他可以先分别单独 测试5个模块,以考察每 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为:

开始
子模块2 45条执行路径
A

子模块3 28条执行路径

18+45+28+38+43=172。 再测试各个模块之间的信

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

息交流是否正常,需要测 试的次数为:3*2=6。 如果每个子模块都正常工 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常,那么 整个程序模块就正常。

结束
这样,测试整个模块的次数就变为 172+6=178(次)

例10.随着人们生活水*的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速 增长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车 牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字 母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出 现,3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少 辆汽车上牌照?

思考

1.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一

个顶点爬到相对的另一个顶点的最*路

线共有多少条?

D1

C1

A1 B1

D A

C B

解:如图,从总体上看,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三 类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,

第一类(A—B): m1 = 1×2 = 2 条 第二类(A—D): m2 = 1×2 = 2 条 第三类(A—A1): m3 = 1×2 = 2 条

因此, 根据分类原理, 从顶点A到顶点C1最*路 线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

课堂练*
A

1.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电?
B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,

第一类, 第二类,
第三类,

m1 = 3 条 m2 = 1 条
m3 = 2×2 = 4, 条

所以, 根据分类原理, 从A到B共有
N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

1.1分类计数原理
与分步计数原理(二)

练*:
三个比赛项目,六人报名参加。 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 2)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不 同的方法? 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不 同的方法?

一、排数字问题
1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格 里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的 数字均不同的填法有_____种
1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填 法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相 同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只 有1种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。

二、映射个数问题:
?例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不 同的映射?

三、染色问题:
如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 ?

解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成,
第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

变式、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂 上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 ,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多 少种?
思考:
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢?
答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。

四、子集问题

规律:n元集合 A
同子集有个 2n。

?

{a1

,

a2

,

...,

an

}

的不

例:集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ,真子集个数为 ,非空子 集个数为 ,非空真子集个数为


五、综合问题:
? 1.若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则 方程所表示的不同的直线共有多少条?
13条

2、75600有多少个正约数?有多少个奇约 数?
解:由于 75600=24×33×52×7

(1)75600的每个约数都可以写成

的形式,其中

,

,

,

于 是 , 要 确 定 75600 的 一 个 约 数 , 可 分 四 步 完 成 , 即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

3、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六

棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( )



B

A.12 B.24 C.36 D.48

练* 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数 字不允许重复的四位数?

2、某城市在中心广场建造一个花圃,

5

花圃分为6个部分(如右图)现要栽

1

种4种不同颜色的花,每部分栽种一
种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 6

2

34

不同的栽种方法有______种.(以数

字作答)

解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看 知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求

(1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有
N1=4×3×2×2×1=48种;

(2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有
N2=4×3×2×2×1=48种;

(3)②与④且③与⑥同色,则共N3=4×3×2×1=24种
所以,共有
N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.


相关推荐

最新更新

猜你喜欢