2018年高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1 导数的概念3 北师大版选修1-1

发布于:2021-08-03 13:37:57

导数的概念 一、【导入新课】 上节我们讨论了瞬时速度、切线的 斜率和边际成本.虽然它们的实际意义 不同,都可以抽象出一般的内容,如果 去掉实际意义,从函数角度来看,都是 研究函数的增量与自变量的增量的比的 极限,由此我们引出下面导数的概念. 二、【讲授新课】 1.设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附*有定义,当自变 量在 x ? x0 处有增量?x 时,则函数 y ? f ( x) 相应 地有增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比 ?y (也叫函数的*均变化率)有极限 ?x 即 ?y 无限趋*于某个常数,我们把这个极限值 ?x 叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 y/ x? x0 或 f ?( x0 ) ,即 f / ( x0 ) ? lim ?x ? 0 f ( x0 ? ?x) ? ?x f ( x0 ) 【温馨提示】 1.函数应在点 x0 的附*有定义,否则 导数不存在. 2.在定义导数的极限式中,?x 趋*于 0 可正、可负、但不为 0,而?y 可能为 0. 3. ?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量x 在?x ?x 范围内的*均变化率,它的几何意义 是过曲线 y ? f ( x) 上点 (x0 , f ( x0 ) ) 及点( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) 的割线斜率. 4.导数 f '( x0 ) ? lim ?x ? 0 f ( x0 ? ?x) ? ?x f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化 率,它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处 变化的快慢程度,它的几何意义是 曲线 y ? f ( x) 上点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的 切线的斜率. 5.导数是一个局部概念,它只与函数 y ? f ( x) 在 x0 及其附*的函数值 有关,与?x 无关. 6.在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当?x 趋*于 0 时,x 趋* 于 x0 ,因此,导数的定义式可写成 f '( x0 ) ? lim ?x ? 0 f ( x0 ? ?x) ? ?x f ( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) . x? x0 x ? x0 7.若极限 lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 不存在, ?x?0 ?x 则称函数 y ? f ( x) 在点 x0 处不可导. 一般地, lim(a ? b?x) ? a , ?x?0 其中a, b 为常数. 特别地, lim a ? a . ?x?0 三、【应用举例】 例 1.一条水管中流过的水量 y (单位:m3 )是时间 x (单位:s)的 函数 y ? f ( x) ? 3x ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的导数 f ?(2) ,并解释它的 几何意义. 例 2.求 y ? 2x2 ? 1 在 x =-3 处的导数. 例 3.一名食品工厂的工人*嗪罂剂 续工作,生产的食品量 y(单位:kg)是 其工作时间 x(单位:h)的函数 y ? f (x) , 假设函数 y ? f (x) 在 x ? 1和 x ? 3 处的 导数 f ?(1) ? 4, f ?(3) ? 3.5 ,试解释它们 的实际意义. 【同步练*】: 服药后,人体*中的药物的质量浓度 y (单位:μg/mL ) 是时间t (单位:min ) 的函数 y ? f (t) ,假设 f ?(10) ? 1.5 , f ?(100) ? ?0.6 ,试解释它们的实际意义. 四、【反馈练*】 1.已知函数 y ? x2 ? x ,求 y? . x?2 2.已知 f ( x) ? x ,求 f ?(4) . 3.已知 f ( x) ? 1 ,求 f ?(3) . x 五、【小结】 本节课我们学*了导数的概念、 及导数意义,并运用概念求导数. 六、【课外练*与作业】 1.求下列函数在指定点处的导数: (1)求函数 y ? x2 ? 1 在-1,0,1 处导数. (2) y ? x2 , x0 ? 2 ; (3) y ? 1 x2 , 3 x0 ? 0 ; (4) y ? ( x ? 2)2 , x0 ? 1 ; (5) y ? x2 ? x, x0 ? ?1 .

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